Monitorias 10 e 11

Definições e Teoremas

Lembrando: Uma transformação linear $T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ fica inteiramente determinada por uma matriz $A = [a_{ij}] \in M(m \times n)$. Os vetores coluna dessa matriz são as imagens $A \cdot e_j$ dos vetores da base canônica. Definimos $A$ como matriz de transformação. Assim, $A \cdot e_j = \sum_{i=1}^m a_{ij}e_i (j=1,...,n)$, onde $e_i \in \mathbb{R}^m$.

Simetrias: Matrizes de tranformação referentes à simetria em relação aos eixos x e y, e em relação à origem, respectivamente: $$S_x = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right] S_y = \left[ \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right] S_o = \left[ \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right]$$

Dilatações: Basta multiplicar uma coluna que se quer dilatar por $r$. Podemos chamar $r$ de coeficiente de dilatação.

Rotação: Para montar essa matriz, basta conhecer a transformação dos vetores $(1,0)$ e $(0,1)$.

$$R_{\theta} = \left[ \begin{array}{cc} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array} \right]$$

A rotação tem algumas propriedades:

• $R_{\theta}^{-1} = R_{-\theta}$

• $R_{\alpha}R_{\beta} = R_{\alpha + \beta}$

• $(R_{\theta})^n = R_{n\theta}$

Projeções: Podemos considerar a transformação que projeta os vetores sobre a reta $y = ax$.

$$P = \frac{1}{1+a^2} \left[ \begin{array}{cc} 1 & a \\ a & a^2 \end{array} \right]$$

Se quisermos que a projeção sobre um eixo e paralelo a uma reta, temos que

$$P_p = \left[ \begin{array}{cc} 1 & -\frac{1}{a} \\ 0 & 0 \end{array} \right]$$

Núcleo de $A$: $N(A) = \{v \in E | Av = 0\}$. É o espaço anulado da matriz $A$.

Imagem de $A$: $Im(A) = \{Av | v \in E\} \implies \exists v \in E; Av = w \implies w \in Im(A)$. Notemos que $posto(A) = dim~Im(A) = dim~col(A)$. Isto ocorre, pois $w \in Im(A)$ é combinação linear das colunas da matriz $A$.

Transformação Injetiva: $A: E \to F$ é injetiva se $\forall v, v', v \neq v' \implies Av \neq Av'$. Uma transformação é injetiva se, e só se, transforma vetores LI em vetores LI. Para essa demonstração, é necessário mostrar que uma transformação é injetiva se, e só se, seu núcleo possui apenas o vetor nulo.

Transformação Sobrejetiva: Ocorre quando $Im(A) = F$, onde $F$ é o espaço vetorial contradomínio.

Teorema do Núcleo e da Imagem: Como $dim~Im(A) = posto(A)$, podemos usar no teorema do posto. Podemos alterar $n$ para $dim~E$, sendo $E$ o domínio da transformação.

Laplace: Escolhe-se uma linha uma coluna e para cada elemento, calcula-se o seu cofator. $A_{ij} = (-1)^{i+j}D_{ij}$.

Propriedades Importantes:

• $det(A) = det(A^{T})$;
• trocar duas linhas ou colunas inverte o sinal do determinante;
• duas linhas proporcionais indica determinante 0;
• multiplicar uma linha por $\alpha$ implicará multiplicar o determinante pelo mesmo fator;
• determinante do produto de matrizes é o produto dos determinantes;
• o determinante de uma matriz com a operação de somar com múltiplo de outra linha é idêntico;
• determinante da inversa é o inverso do determinante

Lembretes para exercícios:

1. Para calcular uma matriz de tranformação, precisamos apenas saber a transformação linear de uma base do domínio. Com essa transformação, precisamos obter a transformação da base canônica, para que a matriz seja constrída nessa base. Essa matriz de tranformação também pode ser obtida por $T = AP^{-1}$, onde $P$ tem como colunas os vetores da base, e $A$ os vetores da base após a transformação.

2. Para mostrar injetividade, podemos usar a contrapositiva da definição.

3. Você sabe encontrar uma base para o núcleo e uma base para a imagem de uma transformação? A base da imagem é basicamente a base para o espaço coluna (consegue enxergar o porquê? Tente representar um vetor da imagem como combinação linear das colunas. E a base para o núcleo?

Exercícios:

1. Reflexão em torno de uma reta: Seja $S: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ a transformação que reflete um veotr em torno da reta $y = ax$. Assim, a reta é a bissetriz do ângulo entre $v$ e $Sv$ e é perpendicular à reta que liga $v$ a $Sv$.

2. Solução: Seja $P$ a matriz de projeção. Projetamos ortogonalmente $v$ sobre a reta $y = ax$. Assim, teremos que $v + Sv = 2Pv \implies I + S = 2P \implies S = 2P - I$. Outra forma é fazer as tranformações dos vetores da base canônica.

3. Considere 5 lâmpadas, cada uma com um botão. Cada botão muda o estado da lâmpada e das vizinhas. Todas estão apagadas. Como deixar a primeira, terceira e quinta acesas.

4. Encontre os números $a,b,c,d$ de modo que o operador $A: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$, dado por $A(x,y) = (ax + by, cx + dy)$ tenha como núcleo a reta $y = 3x$.

5. A transformação $A: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n; A(x) = (x,2x,...,nx)$ é uma transformação injetiva? E $B(x,y) = (x + 2y, x + y, x - y)$?

6. Considere uma transformação $A: E \to F$ na base canônica. Considere $V$ uma base de vetores de $E$. Determine a matriz de transformação $A'$ nessa base. Ou seja, se $Av = w \to A'v_V = w_V$.

7. Ache uma transformação $A: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ tal que a imagem e o núcleo sejam o eixo x.