Monitoria 6

Definições e Teoremas

Linearmente Independente: Um cojunto $X \subset E$ é dito linearmente independente, quando nenhum vetor do conjunto é combinação linear dos outros vetores. O conjunto unitário é dito LI. Para isso, existe o teorema de que: $\alpha_1v_1 + ... + \alpha_nv_n = 0 \to \alpha_1 = ... = \alpha_n = 0$, se e só se, X é LI. A partir disso, conclue-se que a representação de um vetor como combinação de outros vetores é sempre única (se os vetores formarem um conjunto LI). Se um conjunto não é LI, ele é dito linearmente dependente.

Teorema 1 Seja $X = \{x_1,x_2,...,x_m\}$. Se, $\forall k \leq m, v_k$ não é combinação linear de seus antecessores, então X é LI.

Observação Considere $X = \{(1,2),(3,4),(2,4)\} \subset \mathbb{R}^2$, Note que $X$ é LD, porém $(3,4)$ não é combinação linear dos outros vetores (verifique!). Por que isso não é contraditório?

Base: É um conjunto linearmente independente que gera E. Os coeficientes são chamados de coordenadas do vetor nessa base. Como veremos a seguir, toda base de um espaço vetorial apresenta o mesmo número de elementos. Este número é chamado de \textit{dimensão}.

Lema 2.1: Todo sistema homogêneo cujo número de incógnitas é maior que o número de equações admite solução não trivial (a prova é por indução em $m$, o número de equações.

Teorema 2.2: Se um conjunto de n vetores gera o espaço E, então qualquer conjunto com mais de n elementos é LD.

Corolário 2.3: Assim, se os vetores $v_1,...,v_n$ geram o espaço vetorial $E$ e os vetores $u_1,...,u_m$ são LI, $m\leq n$. Daqui tiramos que se $E$ admite uma base $\beta = \{u_1,...,u_n\}$, qualquer outra base também possui n elementos.

Teorema 3: Considere um espaço vetorial de dimensão finita:

• Considere o conjunto de todos os geradores de E. Ele contém uma base.
• Todo conjunto LI está contido numa base.
• Todo subespaço vetorial tem dimensão finita.
• Se a dimensão de um subespaço é $n$, então o subespaço é o próprio espaço.

Exercícios

1. Prove que os seguintes polinômios são linearmente independentes: $p(x) = x^3 - 5x^2 + 1, q(x) = 2x^4 + 5x - 6, r(x) = x^2 - 5x + 2$. Dica: Considere a base $X = \{1, x, x^2, x^3, x^4\}$
2. Seja $X$ um conjunto de polinômios. Se dois polinômios quaisquer de $X$ têm graus diferentes, $X$ é LI.
3. Dado $X \subset E$, seja $Y$ o conjunto obtido de $X$ substituindo um dos seus elementos $v$ por $v + \alpha u$, onde $u \in X$ e $\alpha \in \mathbb{R}$. Prove que X e Y geram o mesmo subespaço vetorial de $E$. Conclua, então que $\{v_1,...,v_k\} \subset E$ e $\{v_1, v_2 - v_1, ..., v_k - v_1\} \subset E$ geram o mesmo subespaço vetorial de $E$.
4. Mostre que os vetores $u = (1,1)$ e $v = (-1,1)$ formam uma base de $\mathbb{R}^2$.
5. Considere a afirmação: "A união de dois conjuntos subconjuntos LI do espaço vetorial E é ainda um conjunto LI". Assinale verdadeiro e falso: ( ) Nunca; ( ) Quando um deles é disjunto do outro; ( ) Quanto um deles é parte do outro; ( ) Quando um deles é disjunto do subespaço gerado pelo outro; ( ) Quando o número de elementos de um deles mais o número de elementos do outro é igual à dimensão de E.
6. Encontre uma base para o espaço vetorial

$$W = \{\begin{pmatrix} a \\ b \\ -b \\ a\end{pmatrix}, \forall a,b \in \mathbb{R}^2\}$$

1. Se $f$ e $g$ estão no espaço vetorial de todas as funções com derivadas contínuas, então o determinante de

$$\begin{pmatrix} f(x) & g(x) \\ f'(x) & g'(x) \end{pmatrix}$$

é conhecido como Wronskiano de $f$ e $g$. Prove que $f$ e $g$ são linearmente independentes, se seu Wronskiano não for identicamente nulo. Esse estudo é estremamente importante no estudo de soluções de sistemas de equações diferenciáveis, pois identifica se duas soluções são linearmente independentes.

Aplicação: Quadrados Mágicos

Observe a imagem da Melancolia I, de Albrecht Durer de 1514: Link da obra

Observa-se o quadrado mágico:

$$\begin{pmatrix} 16 & 3 & 2 & 13 \\ 5 & 10 & 11 & 8 \\ 9 & 6 & 7 & 12 \\ 4 & 15 & 14 & 1 \end{pmatrix}$$

Primeira coisa interessante é ver $15$ e $14$ lado a lado. A soma de cada coluna, linha e diagoral é $34$. Podemos definir uma matriz $n\times n$ sendo quadrado mágico quando a soma de cada linha, coluna e diagonal é igual. Essa soma se chama peso. Considere $Mag_n$ o conjunto de todos os quadrados mágicos de ordem $n$. Prove que $Mag_3$ é um subespaço de $M_{3x3}$.