Integração Numérica

O objetivo da integração numérica é estimar $$I = \int_a^b f(x) \, dx,$$ principalmente quando não sabemos a antiderivada de $f$. Podemos extender para problemas de dimensão maior, isto é, integrar $$I = \int_R f(x) \, dx,$$ em algum retângulo $R$ em dimensão $\mathbb{R}^n$.

Chamamos de quadratura numérica o método básico de aproximação de $I$ através da soma $\sum_{i=0}^n a_i f(x_i)$.

Fórmula de Newton-Cotes

De forma geral, podemos integrar o polinômio interpolador de Lagrange que aproxima para aproximar a integração da função aproximada pela função, isto é,

$$\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^b \sum_{i=0}^n f(x_i) L_i(x) + \int_a^b \prod_{i=0}^n (x - x_i)\frac{f^{(n+1)}(\xi(x))}{(n+1)!} \, dx$$ em que $\{L_i(x)\}_{i=0}^n$ forma a base dos polinômios de Lagrange.

Nesse caso, uma possível aproximação para essa integral é $$\int_a^b \sum_{i=0}^n f(x_i) L_i(x) \, dx = \sum_{i=0}^n a_if(x_i),$$ em que $a_i = \int_a^b L_i(x) \, dx$. O erro dessa estimação é dado por $$E(f) = \int_a^b \prod_{i=0}^n (x - x_i)\frac{f^{(n+1)}(\xi(x))}{(n+1)!} \, dx.$$

A fórmula de Newton-Cotes $(n+1)$-pontos fechada usa os pontos interpoladores $x_i = x_0 + ih$ em que $h = (b-a)/n, x_0 = a$ e $x_n = b$. Ela é dita fechada por incluir os endpoints do intervalo. Apresentamos dois métodos com esse tipo de fórmula. Além do fechado, podemos tomar os pontos igualmente espaçados no interior do intervalo, isto é, $h = (b-a)/(n+2)$ e $x_i = x_0 + (i+1)h$ para $i = 0, \dots, n$. Essas são ditas fórmula de Newton-Cotes $(n+1)$-pontos aberta. Um exemplo conhecida é a regra do ponto médio que toma apenas um ponto $x_0 = (a + b)/2$.

Trapézio Simples

Nesse caso, definimos $x_0 = a, x_1 = b$ e $h=b-a$. Assim $$a_0 = \int_{x_0}^{x_1} \frac{(x - x_1)}{(x_0-x_1)} \quad \text{ e } a_1 = \int_{x_0}^{x_1} \frac{(x - x_0)}{(x_1-x_0)}.$$

Vamos utilizar o Teorema do Valor Médio Ponderado para Integrais (página 5) para estimar o erro. Nesse caso, ele é da seguinte forma: $$\begin{split} E(f) &= \int_{x_0}^{x_1} (x - x_0)(x - x_1)\frac{f^{(2)}(\xi(x))}{2!} \, dx \\ &= \frac{f^{(2)}(\xi)}{2}\left[\frac{x^3}{3} - \frac{(x_0 + x_1)}{2}x^2 + x_0x_1x\right]_{x_0}^{x_1} \\ &= -\frac{h^3}{6}f^{(2)}(\xi), \end{split}$$ para algum $\xi \in (a,b)$.

A regra do trapézio se resume, então, a $$\int_a^b f(x) \, dx = \frac{h}{2}[f(a) + f(b)] - \frac{h^3}{12}f''(\xi).$$

Fórmula de Simpson Simples

Para a fórmula de Simpson, fazemos $x_0 = a, x_2 = b$ e $x_1 = a + h$, para $h = (b-a)/2$, isto é, adicionamos mais um ponto para a aproximação polinomial. Nesse caso,

$$a_0 = \int_{x_0}^{x_2} \frac{(x - x_1)(x - x_2)}{(x_0-x_1)(x_0 - x_2)}, a_1 = \int_{x_0}^{x_2} \frac{(x - x_0)(x - x_2)}{(x_1-x_0)(x_1 - x_2)} \text{ e }a_2 = \int_{x_0}^{x_2} \frac{(x - x_0)(x - x_1)}{(x_2-x_0)(x_2 - x_1)}.$$

Com essa derivação, vamos obter um erro $O(h^4)$ com um termo relacionado a $f^{(3)}$. Podemos reduzir esse erro com esses mesmos pontos usando uma abordagem levemente diferente. É usada a expansão de Taylor em $x_1$ até ordem e um pouco de simetria $x_2 - x_1 = x_1 - x_0$ para verificar que $$\int_{x_0}^{x_2} f(x) \, dx = 2hf(x_1) + \frac{h^3}{3}f''(x_1) + \frac{f^{(4)}(\xi')}{60}h^5.$$

Além disso, é usada a seguinte aproximação para $f''(x_1)$:

$$f''(x_1) = \frac{1}{h^2}[f(x_0) - 2f(x_1) + f(x_2)] - \frac{h^2}{12}f^{(4)}(\xi'')$$

a fim de obter a fórmula de Simpson

$$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \frac{h}{3}[f(a) + 4f(a/2+b/2) + f(b)] - \frac{h^5}{90}f^{(4)}(\xi).$$

Precisão

O grau de precisão da fórmula de quadratura é o maior inteiro positivo $n$ tal que a fórmula seja exata para $x^k$ para cada $k = 0,\dots,n$. Para os exemplos desenvolvidos acima, basta olhar qual o maior inteiro $n$ tal que $f^{(2)} \equiv 0$ no caso do trapézio e $f^{(4)} = 0$ no caso de Simpson.

Fórmulas compostas

É claro que as fórmulas deduzidas acima ficam bem ruins quando $b - a$ é grande. Para isso, a ideia é subdividir o intervalo $[a,b]$ em $a = x_0 < \dots < x_n = b$ (de forma igualmente espaçada, em geral) e aplicar a quadratura numérica a cada um deles. Essa abordagem tira proveito da seguinte propriedade: $$\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx.$$

Para a regra de Simpson composta teremos que $$\int_a^b f(x) \, dx = \frac{h}{3}\left[f(a) + 2\sum_{j=1}^{n/2 - 1} f(x_{2j}) + 4\sum_{j=1}^{n/2} f(x_{2j-1}) + f(b)\right] - \frac{b-a}{180}h^4f^{(4)}(\xi),$$ para $\xi \in (a,b)$ e $h = (b-a)/n$. O erro, portanto, é $O(h^4)$.

A fórmula do trapézio é similar: $$\int_a^b f(x) \, dx = \frac{h}{2}\left[f(a) + 2\sum_{j=1}^{n - 1} f(x_{j}) + f(b)\right] - \frac{b-a}{12}h^2f^{(2)}(\xi).$$

Quadratura de Gauss-Legendre

Este método escolhe os pontos para a interpolação de forma ótima ao invés de igualmente espaçada. Assim, os pontos $x_i$ e os coeficiente $c_i$ são escolhidos a minimizar $$\left|\int_a^b f(x) \, dx - \sum_{i=1}^n c_i f(x_i)\right|.$$ Para medir essa acurácia, assumimos que a escolha ótima desses valores produzo maior grau de precisão, definido acima.

Polinômios Ortogonais

Considere o espaço das funções contínuas definidas em $[a,b]$ (isso significa que um elemento desse conjunto é uma função contínua definida em $[a,b]$) com o seguinte produto interno: $$\langle f, g \rangle = \int_a^b f(x)g(x) \, dx.$$ Observe como esse produto interno é uma extensão do somatório dos produtos dos componentes de dois vetores. Dizemos que duas funções são ortogonais quando $\langle f,g \rangle = 0$.

Considere o espaço dos polinômios de grau até $n$ com o produto interno apresentado acima no intervalo $[-1,1]$. Os polinômios de Legendre são polinômios ortogonais e são obtidos fazendo o processo de Gram-Schmidt sobre a base $\{1, x, x^2, x^3, \dots, x^n\}$.

Abaixo estão alguns dos polinômios de Legendre:

$$P_0(x) = 1, P_1(x) = x, P_2(x) = x^2 - \frac{1}{3}, P_3(x) = x^3 - \frac{3}{5}x, P_4(x) = x^4 - \frac{6}{7}x^2 + \frac{3}{35}.$$

Suponha que $x_1, \dots, x_n$ são as raízes do polinômio de Legendre $P_n(x)$ e que $$c_i = \int_{-1}^1 \prod_{j \neq i} \frac{x-x_j}{x_i-x_j} \, dx.$$ Se $P(x)$ é qualquer polinômio de grau menor do que $2n$, então, $$\int_{-1}^1 P(x) \, dx = \sum_{i=1}^n c_iP(x_i).$$

Fórmula de Gauss-Legendre para intervalo qualquer

Basta observar que $$\int_a^b f(x) \, dx = \frac{b-a}{2}\int_{-1}^1 f\left(\frac{(b-a)t + (b+a)}{2}\right) \, dt$$ e aplicar Gauss-Legendre para a integral à direita.