Curvatura de uma curva

python import sympy as sp import numpy as np from scipy.integrate import solve_ivp import matplotlib.pyplot as plt

Curvatura

Seja $\gamma$ uma curva parametrizada pelo comprimeto de arco. Definimos curvatura como a função $\kappa(t) = ||\ddot{\gamma}(t)||$. Essa definição é consistente com o que esperávamos de uma reta (curvatura nula) e de um círculo (curvatura constante e inversamente proporcional ao raio). Além disso, se $\gamma$ é uma curva regular qualquer, ela tem uma reparametrização pelo comprimento de arco. Portanto, podemos definir a sua curvatura como sendo a curvatura de sua reparametrização pelo comprimento de arco. Isto é, seja $\hat{\gamma}$ uma reparametrização pelo comprimento de arco de $\gamma$ com curvatura $\kappa$. Então a curvatura de $\gamma$ será $\kappa$.

Uma questão que se levanta é: e se houver outra reparametrização pelo comprimento de arco para $\gamma$? Para isso, precisamos mostrar que a curvatura é invariante (não muda) segundo a reparametrização. Isso não é dificíl de ver, pois as tangentes das reparametrizações têm mesmo tamanho e, possivelmente, diferentes sinal.

Curvatura de uma curva regular

Seja $\gamma(t)$ uma curva em $\mathbb{R}^3$, então sua curvatura é dada pela expressão

$$\kappa = \frac{||\ddot{\gamma} \times \dot{\gamma}||}{||\dot{\gamma}||^3}$$

Observe que para curvas no plano essa expressão pode também ser utilizada,

$$\kappa = \frac{|\ddot{\gamma}_1\dot{\gamma}_2 - \ddot{\gamma}_2\dot{\gamma}_1|}{||\dot{\gamma}||^3}$$

Curvatura com sinal

Definimos a normal unitária com sinal $n(s)$ o vetor unitário que rotaciona o vetor tangente no sentido anti-horário em $\pi/2$. Em particular, $\ddot{\gamma}(s)$ e $\dot{\gamma}(s)$ são perpendiculares (pois a curva é parametrizada pelo comprimento de arco) e, portanto, é paralelo a $n(s)$, e assim

$$\ddot{\gamma}(s) = \kappa_s(s) n(s)$$

Chamamos $\kappa_s$ de curvatura com sinal. Em particular, $\kappa = |\kappa_s|$.

Função Ângulo

Dada uma curva diferenciável $\gamma: I \to \mathcal{S}^1$, onde $\mathcal{S}^1$ é o círculo centrado na origem, dizemos que $\theta : I \to \mathbb{R}$ é função ângulo de $\gamma$ quando $$\gamma(s) = (\cos(\theta(s)), \sin(\theta(s)), \forall s \in I$$

Observe que nessa definição, a imagem de $\gamma$ é um subconjunto de $\mathcal{S}^1$, como se fosse um arco. Por exemplo,

$\gamma(s) = (\cos(2s), \sin(2s)) \implies \theta(s) = 2s$.

Considere o operador que rotaciona no sentido anti-horário em 90° um vetor. Podemos descrevê-lo em forma matricial como

$$J = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$

Defina o determinante entre dois vetores como

$$det(v,w) = \langle Jv , w \rangle$$

que é o produto interno do vetor $v$ rotacionado e $w$.

Diferenciabilidade

Seja $\gamma : I \to \mathcal{S}^1$ uma curva diferenciável. Então $\gamma$ admite uma função ângulo $\theta$ diferenciável. Além disso, se $\hat{\theta}$ é função ângulo diferenciável de $\gamma$, ela difere de $\theta$ por uma constante.

Note que supondo a existência dessa função diferenciável, temos que, por aplicação da Regra da Cadeia, $$\gamma '(s) = \theta '(s)(-\sin(\theta(s)), \cos(\theta(s))) = \theta '(s) J\gamma(s)$$ Portanto, aplicando o produto interno em ambos os lados, observamos que $$\theta '(s) = det(\gamma(s), \gamma '(s))$$ Assim, a demonstração se dá defininido $\theta$ com essa derivada (Teorema Fundamental do Cálculo).

Agora seja $\alpha$ uma curva regular, sem perda de generalidade, parametrizada pelo comprimento de arco. Seja $t(s) = \alpha '(s)$. Como $||t(s)|| = 1$, pela proposição anterior, existe uma função ângulo diferenciável $\theta$ de forma que definimos a curvatura de $\alpha$ como

$$k(s) = \theta '(s) = det(t(s), t'(s)) = det(\alpha'(s), \alpha''(s))$$

Observação 1: Se $\alpha$ é regular, sua curvatura é $$\kappa(s) = \frac{det(\alpha'(s), \alpha''(s))}{||\alpha '(s)||^3}$$

Observação 2: Estamos rotacionando o vetor tangente, obtendo o que chamamos de vetor normal unitário e fazendo o produto interno com a aceleração da curva, o que coincide com a definição prévia!

Exemplo: Considere a parametrização do círculo $\alpha(s) = p + r(\cos(s/r), \sin(s/r)), s \in \mathbb{R}$. Assim

$$\alpha'(s) = (-\sin(s/r), \cos(s/r))$$

$$\alpha''(s) = -\frac{1}{r}(\cos(s/r), \sin(s/r)) = \frac{1}{r}J\alpha '(s)$$

$$\kappa(s) = \langle J\alpha '(s), \alpha ''(s) \rangle = \frac{1}{r}$$

Exemplo 2: Vamos usar python para calcular a curvatura da espiral equiangular $z(t) = e^{(a + i)t}$ onde $a$ é uma constante e $i^2 = -1$.

```python

Definimos as variáveis

t = sp.symbols('t', real = True) a = sp.symbols('a', real = True, constant = True)

Definimos a função z

z = sp.exp((a + sp.I)*t)

Derivando

zt = sp.diff(z, t) ztt = sp.diff(zt, t)

Rotaciona zt

Jzt = ztsp.exp(sp.Isp.pi/2) ```

Observe que nossa curva está definida no plano complexo (isomorfo ao plano real). Para calcular a curvatura de uma curva, rotacionamos o vetor e fazemos o produto dotentre esses números como produto escalar de dois vetores. Nesse caso, teremos que $\langle z_1, z_2 \rangle = Re(z_1\cdot\bar{z}_2)$.

python k = sp.re(Jzt*sp.conjugate(ztt))/sp.Abs(zt)**3 k

$\displaystyle \frac{\left(2 a^{2} e^{2 a t} - \left(a^{2} - 1\right) e^{2 a t}\right) e^{- 3 a t}}{\left(a^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}$

Precisamos indicar para o programa que queremos uma resposta fatorizada

python k = sp.factor(k) k

$\displaystyle \frac{e^{- a t}}{\sqrt{a^{2} + 1}}$

Assim, essa é a curvatura da espiral equiangular.

Movimento Rígido

Isometria: Uma aplicação $F: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ que preserva distância, isto é, $||x - y|| = ||F(x) - F(y)||, \forall x, y \in \mathbb{R}^n$. Diremos uma movimento rígido é uma isometria (a rigidez em mudar distâncias).

Translação: Uma aplicação $F: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ do tipo $v \mapsto F(v) := v + a$, para algum $a \in \mathbb{R}^n$ fixo.

Transformação Ortogonal: Uma transformação linear que presetva o produto interno, isto é, $\langle u, v \rangle = \langle T(u), T(v) \rangle$. A matriz associada a essa transformação é ortogonal.

Dizemos que o movimento é direto se $det(P) = 1$ e oposto ou inverso quando $det(P) = -1$.

Teorema

Seja $P_{n\times n}$ uma matriz ortogonal e $a \in \mathbb{R}^n$. Então $F: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ definido como $F(v) = Pv + a$ é uma isometria. Reciprocamente, toda isometria pode ser escrito nessa forma. Esse teorema permite uma caracterização simples de um movimento rígido.

Invariância da curvatura

Sejam $\Phi = A + p_0$ um movimento rígido direto de $R^2$ e $\alpha : I \to \mathbb{R}^2$ uma curva regular parametrizada por comprimento de arco. Então, $\beta = \Phi \circ \alpha : I \to \mathbb{R}^2$ é uma curva regular de $\mathbb{R}^2$, parametrizada por comprimento de arco, cuja função curvatura coincide com a de $\alpha$, isto é, $\kappa_{\alpha}(s) = \kappa_{\beta}(s) \forall s \in I$.

Observe que derivar $\beta ' = \Phi'(\alpha) = A\alpha '$ o que garante que $\beta$ é parametrizada pelo comprimento de arco e que $\beta '' = A\alpha ''$. Portanto, como $det(A) = 1$, vale que as curvaturas são as mesmas.

Equações de Frenet

Seja $\alpha$ uma curva parametrizada pelo compimento de arco com vetor normal $n(s)$ e vetor tangente $t(s)$. Observe que para cada $s$, esses vetores formam um base ortonormal para $\mathbb{R}^2$. Chamamos essa base de diedro de Frenet. Já definimos curvatura com sinal $\kappa$ quando $t'(s) = \kappa(s) n(s)$. Além disso, $||n(s)|| = 1 \implies n(s) \perp n'(s)$. Portanto $n'(s)$ é paralelo a $t(s)$. Logo $n'(s) = \langle n'(s), t(s) \rangle t(s)$ e:

$$\langle n'(s), t(s) \rangle = \langle Jt'(s), t(s) \rangle = -\langle t'(s), Jt(s) \rangle = -det(t(s), t'(s)) = -\kappa(s)$$

Assim obtemos as equações de Frenet:

$$t' = \kappa \cdot n$$ $$n' = -\kappa \cdot t$$

As equações de Frenet são, portanto, um sistema de equações diferenciais envolvendo a base ortonormal para cada $s$.

Teorema Fundamental das Curvas no Plano

Sejam $I$ um intervalo aberto e $\kappa : I \to \mathbb{R}$ uma função diferenciável. Então, existe uma curva diferenciável, $\alpha : I \to \mathbb{R}^2$, parametrizada por comprimento de arco, cuja função curvatura $\kappa_{\alpha}$ coincide com $\kappa$. Além disso, para toda curva $\beta : I \to \mathbb{R}^2$, parametrizada por comprimento de arco, que cumpre $\kappa_{\beta} = \kappa$, existe um movimento rígido $\Phi : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$, tal que $\alpha = \Phi \circ \beta$.

Exemplo: (Reconstrução de uma curva plana) Suponha que nos é dado uma curvatura $\kappa$. Como $\kappa = \theta '$ e $\alpha' = (\cos(\theta), \sin(\theta))$. Vamos supor que o intervalo é do tipo $[0,l]$, onde $l$ é o comprimento da curva.

```python def get_curve_from_curvature(k, tf, x0, y0): # ângulo theta_ = solve_ivp(fun = k, t_span = (0,tf), y0 = [0], t_eval = np.arange(0,tf+1e-4,0.01) ).y[0]

def theta(t): 
    li = int(t*(len(theta_)-1)/tf)
    gi = min(int(t*(len(theta_)-1)/tf) + 1, len(theta_)-1)
    convex = t*len(theta_)/tf - li
    return (1-convex)*theta_[li] + convex*theta_[gi]

# Componentes 
def f(t,x): 
    return [np.cos(theta(t)), np.sin(theta(t))]

# Curva
alpha = solve_ivp(fun = f, 
                  t_span = (0,tf), 
                  y0 = [x0,y0], 
                  t_eval = np.arange(0,tf+1e-4,0.01)
                 ).y

return alpha

```

Círculo

```python

Curvatura

k = lambda t,x: 1

Um ponto em que passa a curva

x0 = 0 y0 = 0

Comprimento da curva

tf = 2*np.pi+0.1

alpha = get_curve_from_curvature(k,tf,x0,y0)

plt.figure(figsize = (6,6)) plt.plot(alpha[0,:], alpha[1,:]) plt.show() ```

Reta

```python

Curvatura

k = lambda t,x: 0

Um ponto em que passa a curva

x0 = 0 y0 = 0

Comprimento da curva

tf = 10*np.pi+0.1

alpha = get_curve_from_curvature(k,tf,x0,y0)

plt.figure(figsize = (6,6)) plt.plot(alpha[0,:], alpha[1,:]) plt.show() ```

Clotoide

```python

Curvatura

k = lambda t,x: t

Um ponto em que passa a curva

x0 = 0 y0 = 0

Comprimento da curva

tf = 10*np.pi+0.1

alpha = get_curve_from_curvature(k,tf,x0,y0)

plt.figure(figsize = (6,6)) plt.plot(alpha[0,:], alpha[1,:]) plt.show() ```