Formas fundamentais

Primeira forma fundamental

A primeira preocupação que podemos ter em uma superfície é medir a distância entre dois pontos (o ser humano sempre fez isso de diversas formas no planeta terra). Para isso, introduzimos o conceito da primeira forma fundamental.

Definição: Seja $p$ um ponto na superfície de $S$. A primeira forma fundamental de $S$ em $p$ associa $v, w \in T_pS$ ao escalar $$\langle v, w \rangle_{p,S} = v \cdot w$$ Seja $v \in T_pS$. Então, podemos representar $w$ como uma combinação linear dos vetores $\sigma_u$ e $\sigma_v$: $w = \lambda \sigma_u + \mu \sigma_v$. Assim $$\langle w, w \rangle = \lambda^2\langle \sigma_u, \sigma_u \rangle + 2\lambda\mu\langle \sigma_u, \sigma_v \rangle + \mu^2\langle \sigma_v, \sigma_v \rangle$$ Definimos $E = ||\sigma_u||^2, F = \sigma_u \cdot \sigma_v, G = ||\sigma_v||^2$ e assim, exprimimos a forma fundamental como $$Edu^2 + 2Fdudv + Gdv^2$$ em que $du = \lambda$ e $dv = \mu$.

Se $\gamma(t) = \sigma(u(t), v(t))$, podemos calcular o comprimento de arco utilizando que $\dot{\gamma} = \dot{u}\sigma_u + \dot{v}\sigma_v$ e, então, $$||\dot{\gamma}||^2 = E\dot{u}^2 + 2F\dot{u}\dot{v} + G\dot{v}^2$$ Portanto $$L(\gamma) = \int (E\dot{u}^2 + 2F\dot{u}\dot{v} + G\dot{v}^2)^{1/2} dt$$

Isometrias em superfícies

Se $\mathcal{S}_1$ e $\mathcal{S}_2$ são superfícies, dizemos que eles são localmente isométricos se qualquer curva de $\mathcal{S}_1$ pode ser levada por um mapa suave para uma curva em $\mathcal{S}_2$ de mesmo comprimento, isto é, toda curva pode ser levada de uma superfície para outra, mantendo comprimento. O mapa que realiza essa função é uma isometria local.

Seja o mapa $D_pf : T_p\mathcal{S}_1 \to T_{f(p)}\mathcal{S}_2$ a derivada da função suave $f$ entre as superfícies. Podemos provar que $f$ será uma isometria local se, e somente se, $D_p\mathcal{S}_1$ é uma isometria (isto é, preserva distâncias) para todo ponto $p \in \mathcal{S}_1$. Lembrando que por isometria, queremos dizer que $$\langle v, v \rangle_p = \langle D_p f(v), D_p f(v) \rangle_{f(p)}.$$ Se $f$ for uma isometria local, ele será um difeomorfismo local dada a invertibilidade de sua derivada $D_pf$.

Um corolário interessante é que para todo mapa $\sigma_1$ de $\mathcal{S}_1$, os patches $\sigma_1$ de $\mathcal{S}_1$, e $f \circ \sigma_1$ de $\mathcal{S}_2$ tem a mesma forma fundamental.

Segunda forma fundamental

Seja $p=\sigma(u,v)$ um ponto em uma superfície. A medida que nos afastamos de $(u,v)$, a superfície se distancia do plano tangente segundo a distância (aproximada) $$(\sigma(u + \Delta u, v + \Delta v) - \sigma(u,v))\cdot N.$$ Pelo teorema de Taylor, essa distância vale $$(\sigma_u\Delta u + \sigma_v\Delta v + \frac{1}{2}(\sigma_{uu}(\Delta u)^2 + 2\sigma_{uv}\Delta u\Delta v + \sigma_{vv}(\Delta v)^2) + R(\Delta u, \Delta v))\cdot N$$ onde esse esse resto sobre $(\Delta u)^2 + (\Delta v)^2$ tende a 0. Como $N$ é perpendicular a $\sigma_u, \sigma_v$, o resto da expressão é escrita como $$\frac{1}{2}(e(\Delta u)^2 + 2f\Delta u\Delta v + g(\Delta v)^2) + R(\Delta u, \Delta v),$$ em que $$e = \sigma_{uu}\cdot N, f = \sigma_{uv}\cdot N, f = \sigma_{vv}\cdot N.$$ A expressão acima é a segunda forma fundamental e está associada ao curvamento da superfície em relação ao plano tangente.

Mapa de Gauss e de Weingarten

Mapa de Gauss: O mapa $\mathcal{G} : \mathcal{S} \to \mathcal{S}^2$ que associa cada ponto da superfície $p \in \mathcal{S}$, o ponto $N_p \in \mathcal{S}^2$ que é o vetor normal unitário de $\mathcal{S}$ em $p$.

Medimos a variação de $N$ ao longo de $\mathcal{S}$ pela derivada $$D_p \mathcal{G} : T_p\mathcal{S} \to T_{\mathcal{G}(p)}\mathcal{S}^2.$$ Seja $q = \mathcal{G}(p)$. O plano tangente a esse ponto é perpendicular a $q$ e passa pela origem. Observe, no entanto, que esse plano, é perpendicular a $N_p$, que é exatamente $T_p\mathcal{S}$. Portanto esse mapa pode ser escrito como $$D_p \mathcal{G} : T_p\mathcal{S} \to T_p\mathcal{S}.$$

Mapa de Weingarten: O mapa de Weingarten da superfície $\mathcal{S}$ no ponto $p$ é definida como $\mathcal{W}_{p,S} = - D_p\mathcal{S}$. A segunda forma fundamental pode ser equivalentemente escrita como $$\langle \langle v, w \rangle \rangle_{p,S} := \langle \mathcal{W}_{p,S}(v), w \rangle_{p,S}, v, w \in T_p\mathcal{S}.$$

Podemos provar essa relação, além de provar que o mapa de Weingarten é autoadjunto.

Curvatura normal e geodésica: Seja uma curva $\gamma$ na superfície $\mathcal{S}$. A segunda derivada de $\gamma$ (relacionada com sua curvatura) pode ser escrita como combinação linear $$\ddot{\gamma} = \kappa_n N + \kappa_g(N\times\dot{\gamma}).$$ Chamamos $\kappa_n$ de curvatura normal e $\kappa_g$ de geodésica. Em geral só a magnitude desses valores é bem definida. Além disso $$\kappa_n = L\dot{u}^2 + 2M\dot{u}\dot{v} + N\dot{v}^2$$