Introdução à topologia

Topologia é uma área da matemática que estuda objetos geométricos com noções de continuidade e convergência. Material na internet sobre esse tópico não falta, mas eu gostaria de destacar o curso de Introdução à Topologia Geral da Universidade de Brasília pelo professor André Caldas. Estudar topologia pode contribuir para a compreensão de superfícies em um nível mais profundo, pois uma superfície em $\mathbb{R}^3$ é um objeto que se parece com um plano na vizinhança de todo ponto. Mas esses conceitos só ficam precisos com o estudo de topologia. Aqui faremos apenas um resumo de alguns conceitos sob a ótica do que chamamos de espaços métricos.

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Definições básicas

Bola aberta: A bola aberta de centro $x \in \mathbb{R}^n$ e raio $r > 0$ é o conjunto $\mathcal{B}_r(x) = \{y \in \mathbb{R}^n : ||x-y|| < r\}$. Se $n=1$, esses conjuntos são chamados de intervalos abertos e se $n=2$ de discos abertos.

Bola fechada: $\bar{\mathcal{B}}_r(x) = \{y \in \mathbb{R}^n : ||x-y|| \le r\}$.

Conjunto aberto: Dizemos que o conjunto $U \subseteq \mathbb{R}^n$ é aberto se $\forall x \in U, \exists \epsilon > 0$ tal que $\mathcal{B}_{\epsilon}(x) \subseteq U$.

Conjunto fechado: Dizemos que $F \subseteq \mathbb{R}^n$ é fechado se $F^c$ é aberto.

Lema: Toda bola aberta é um conjunto aberto.

Proposição: A partir da definição de conjunto aberto, podemos demonstrar que:

(i) O conjunto vazio $\emptyset$ é aberto.

(ii) A união de conjuntos abertos é um conjunto aberto.

(iii) A intersecção finita de de conjuntos abertos é aberta.

Podemos definir uma topologia usando (i)-(iii).

Ponto interior: se $x \in A \subseteq \mathbb{R}^n$ é ponto interior de $A$ se existe $\epsilon > 0$ tal que $\mathcal{B}_{\epsilon}(x) \subseteq A$.

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Vizinhança: Dizemos que $U \subseteq \mathbb{R}^n$ é uma vizinhança do ponto $x \in \mathbb{R}^n$ se existe $\epsilon > 0$ tal que $\mathcal{B}_{\epsilon}(x) \subseteq U$.

Ponto de fronteira: Se $x \in \mathbb{R}$ é ponto de fronteira de $A$ se $\forall \epsilon > 0$, a bola $\mathcal{B}_{\epsilon}(x)$ contém pontos de $A$ e pontos de $A^c$. O conjunto desses pontos é notado como $\partial A$.

Caracterização de conjuntos fechados: Seja $F \subseteq \mathbb{R}^n$. Ele é fechado se, e somente se, toda sequência de elementos de $F$ converge a um elemento de $F$.

Convergência e continuidade

Convergência: Seja $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subseteq \mathbb{R}^n$ uma sequência de pontos. Dizemos que $x_n$ converge para um ponto $x^* \in \mathbb{R}^n$, quando $\forall \epsilon > 0$, existir $N \in \mathbb{N}$ tal que $n \ge N, d(x_n, x^*) < \epsilon$ e denotamos $x_n \to x^*$.

Ponto de aderência: Seja $A \subseteq \mathbb{R}^n$. Dizemos que $a \in \mathbb{R}^n$ é ponto aderente de $A$ se existe $\{x_n\} \subseteq A$ tal que $x_n$ converge para $a$.

Continuidade: Uma função $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ é contínua se para todo conjunto aberto $V \subseteq \mathbb{R}^m$, a imagem inversa $f^{-1}(V) = \{x \in \mathbb{R}^n | f(x) \in V\}$ é conjunto aberto.

De forma equivalente, dizemos que $f$ é contínua em $a \in \mathbb{R}^n$ quando para todo sequência $\{x_n\} \subseteq \mathbb{R}^n$ convergente para $a$, então $f(x_n)$ converge para $f(a)$ e $f$ é contínua quando é contínua para todo ponto $a \in \mathbb{R}^n$.

Agora, se $f: X \subseteq \mathbb{R}^n \to Y \subseteq \mathbb{R}^m$, dizemos que ela é contínua quando para todo $V \subseteq \mathbb{R}^m$, existe um conjunto aberto $U \subseteq \mathbb{R}^n$ tal que $U \cap X = \{x \in U: f(x) \in V\}$.

Homeomorfismo: Se $f : X \to Y$ é contínua e bijetiva e se o mapa inverso $f^{-1} : Y \to X$ também é contínuo, dizemos que $f$ é um homeomorfismo e $X$ e $Y$ são homeomorfos.

Difeomorfismo: Sejam $X \subseteq \mathbb{R}^n$ e $Y \subseteq \mathbb{R}^m$. Dizemos que $f : X \to Y$ é diferenciável quando para cada $a \in X$, existe uma extensão um aberto $U \subseteq \mathbb{R}^n$ contendo $a$ tal que $F: U \to \mathbb{R}^m$ é diferenciável e $F|_{U \cap X} = f|_{U \cap X}$. Se $f$ é um homeomorfismo diferenciável e $f^{-1}$ é diferenciável, então $f$ é um difeomorfismo. Então $X$ e $Y$ são difeomorfos.