Superfícies

Poderíamos definir uma superfície da mesma forma que fizemos com curvas, só que com o domínio sendo um subconjunto convexo de $\mathbb{R}^2$. Só que isso não abrigaria superfícies como a esfera, por exemplo. De forma geral, vamos querer que uma superfície seja um subconjunto em $\mathbb{R}^3$ que localmente pareça um plano.

Definição: Dizemos que $S \subseteq \mathbb{R}^n$ é uma superfície se para todo ponto $p \in S$, existe um conjunto aberto $U \subset \mathbb{R}^2$ e um conjunto aberto $W \subseteq \mathbb{R}^3$ contendo $p$ tal que $S \cap W$ é homeomorfo a $U$.
O homeomorfismo $\sigma : U \to S \cap W$ é um patch ou parametrização local. A coleção desses homeomorfismos que cobrem $S$ é chamada de atlas.

Dizemos que $S \cap W$ é aberto em $S$ sempre que $W$ for aberto.

Observe que para cada ponto da superfície, olhamos para uma vizinhança dele (conjunto aberto que o contém). Essa vizinhança restrita à superfície deve ser "parecida" com um subconjunto do plano. Quando caminhamos no planeta, temos a sensação de caminharmos num plano justamente por esse conceito.

Também observe que nosso atlas pode ser formado por uma quantidade infinita de patches, mas, em geral, existe um número mínimo.

Superfícies suaves

Definição: Um patch $\sigma : U \to \mathbb{R}^3$ é regular se é uma função suave (diferenciável nas três componentes com derivadas parciais contínuas de todas as ordens) e os vetores $\sigma_u = \frac{\partial}{\partial u} \sigma$ e $\sigma_v = \frac{\partial}{\partial v} \sigma$ são linearmente independentes para todo $(u,v) \in U$. Isto é, basta exigir que $\sigma_u \times \sigma_v \neq 0$. Uma superfície regular é uma superfície tal que $p \in S$, existe um patch regular cuja imagem contenha $p$.

Proposição: Sejam $U$ e $V$ abertos de $\mathbb{R}^2$ e $\sigma : U \to \mathbb{R}^3$ um patch regular. Seja $\phi : V \to U$ um difeomorfismo. Então $\tilde{\sigma} = \sigma \circ \phi : V \to \mathbb{R}^3$ é um patch regular. Dizemos que $\sigma$ e $\tilde{\sigma}$ são reparametrizações um do outro e $\phi$ um mapa reparametrização.

Esse princípio permite que definhamos uma propriedade para superfícies regulares desde que definhamos para qualquer patch regular de forma que será inalterada para outra parametrização.

Mapas suaves

Queremos entender a noção de mapa suave entre duas superfícies suaves. Até agora, definimos a suavidade entre conjuntos de $\mathbb{R}^n$. Suponha que as superfícies $S_1$ e $S_2$ são cobertas pelos patches $\sigma_1 : U_1 \to \mathbb{R}^3$ e $\sigma_2 : U_2 \to \mathbb{R}^3$, respectivamente. Dizemos que $f$ é suave se $\sigma_2^{-1} \circ f \circ \sigma_1 : U_1 \to U_2$ é suave.

Além disso, se $f: S_1 \to S_2$ é um difeomorfismo e $\sigma_1$ é um patch regular $S_1$, então $f \circ \sigma_1$ é um patch regular em $S_2$.

Tangentes

Definição: Um vetor tangente a uma superfície $S$ em um ponto $p \in S$ é o vetor tangente em $p$ de uma curva em $S$ que passa por $p$. O espaço tangente é o conjunto desses vetores e é denotado por $T_pS$.

Seja uma curva $\alpha$ em $S$. que passa por $p$. Em uma vizinhança de $p$, podemos dizer que $\alpha(t) = \sigma(u(t), v(t))$ tal que $\alpha(t_0) = p$. Podemos provar que $u$ e $v$ são suaves. Essa curva tem uma tangente em $p$ denotada por $\alpha '(t_0)$. Mas note que, essa curva não é necessariamente a única que passa por $p$.

Essa definição é pouco tratável para enxergar o espaço tangente. Para isso, o teorema a seguir propõe uma caracterização mais palatável:

Proposição: Seja $\sigma : U \to \mathbb{R}^3$ um patch da superfície $S$ que passa pelo ponto $p$ em $(u_0, v_0)$. O espaço tangente a $S$ em $p$ é o plano gerado pelos vetores $\sigma_u(u_0, v_0)$ e $\sigma_v(u_0, v_0)$ que passa pela origem. Observe que o plano tangente é independente da escolha do patch.

Derivada de mapa suave: Com a definição de mapa tangente, podemos definir a derivada de um para $f: S_1 \to S_2$. A derivada de $f$ em $p \in S_1$ mede a variação de $f(p) \in S_2$ quando $p$ se move em sua vizinhança.

Assim, dizemos que a derivada $D_pf$ de $f$ em $p \in S$ é um mapa $$D_pf : T_pS_1 \to T_{f(p)}S_2$$ tal que, se $w \in T_pS_1$, existe uma curva $\alpha$ em $S_1$ tal que $w = \alpha '(t_0)$. Então $\gamma = f \circ \alpha$ é uma curva em $S_2$ passando por $f(p)$ em $t_0$ e, então $D_{f(p)}S_2 = \gamma '(t_0)$.

Normais e orientabilidade

Definição: O vetor normal unitário a $S$ no ponto $p$ é dado por $$N_{\sigma} = \frac{\sigma_u \times \sigma_v}{||\sigma_u \times \sigma_v||}$$ que é exatamente o vetor normal ao plano tangente. Note que esse vetor não é independente da escolha do patch $\sigma : U \to \mathbb{R}^3$. Se $\tilde{\sigma} : \tilde{U} \to \mathbb{R}^3$ é outro patch regular para $S$ em $p$, podemos demostrar que:

Proposição: Seja $\phi : \tilde{U} \to U$ um difeomorfismo. Então $\tilde{\sigma} = \sigma \circ \phi : \tilde{U} \to \mathbb{R}^3$ é um mapa regular. Além disso, $$\tilde{\sigma}_{\tilde{u}} \times \tilde{\sigma}_{\tilde{v}} = \operatorname{det}(J(\phi)) \, \tilde{\sigma}_u \times \tilde{\sigma}_v$$ em que $\operatorname{det}(J(\phi))$ é o determinante do Jacobiano da transformação $\phi$. Portanto $N_{\tilde{\sigma}} = \operatorname{sign}(\operatorname{det}(J(\phi))) N_{\sigma}$.

Orientabilidade: Dizemos que $S$ é superfície orientável se existe um atlas $A$ para $S$, de forma que, para quaisquer dois patches $\sigma_1$ e $\sigma_2$ em $A$, se $\phi$ é o mapa de transição entre eles, então $\operatorname{det}(J(\phi)) > 0$.

Abordagem alternativa

A abordagem utilizada por Ronaldo Freire é um pouco diferente e será apresentada nessa subseção.

Definição (campos): Seja uma superfície $\mathcal{S}$. Uma aplicação $f: \mathcal{S} \to \mathbb{R}^3$ é chamada de campo. Ela será unitária quando $||f(p)|| = 1$ para todo ponto da superfície; tangente se sua imagem está contida no espaço (plano) tangente; e normal se pertence ao complemento ortogonal do espaço tangente, isto é, sua imagem é ortogonal ao plano tangente.

Quando o campo é normal, unitário, e diferencial, denotamos por $N : \mathcal{S} \to \mathbb{R}^3$. Note que sempre podemos definir essa função associando cada ponto da superfície ao vetor normal à superfície que passe no ponto.

Superfície orientável: Uma superfície regular é orientável quando podemos definir um campo $N$ nessa superfície. Esse campo define a orientação da superfície, quando existir.

Uma superfície regular não orientável é a fita de Moebius, uma faixa de papel com uma das extremidades torcidas.

Atlas coerente: Um atlas (família de parametrizações de uma superfície) é coerente quando dadas duas parametrizações $\sigma_1$ e $\sigma_2$ do atlas, o mapa de transição entre as parametrizações tem determinante positivo. Note que essa é a definição que Pressley utiliza. Podemos provar (inclusive Freire prova) que ambas são definições equivalentes.