Curvaturas de Superfícies

Curvaturas Gaussiana e média

Definição: Seja $\mathcal{W}$ o mapa de Weingarten de uma superfície orientada $\mathcal{S}$ e $p \in \mathcal{S}$. A curvatura Gaussiana $K$ e a curvatura média $H$ de $\mathcal{S}$ em $p$ são $$K = \det(\mathcal{W}), \; \; H = \frac{1}{2}\operatorname{traço}(\mathcal{W}).$$ Defina, considerando a primeira e segunda formas fundamentais, $$\mathcal{F}_I = \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix}, \; \; \mathcal{F}_{II} = \begin{pmatrix} e & f \\ f & g \end{pmatrix}.$$

Proposição: Seja $\sigma$ uma parametrização da superfície orientada $\mathcal{S}$. Então a matriz do mapa de Weingarten com respeito a base $\{\sigma_u, \sigma_v\}$ de $T_pS$ é $\mathcal{F}_I^{-1}\mathcal{F}_{II}$.

Corolário: $$H = \frac{eG - 2fF + gE}{2(EF - F^2)}, \; \; K = \frac{eg - f^2}{EG - F^2}$$

Curvaturas principais

Seja $p \in \mathcal{S}$. Existem $\kappa_1, \kappa_2$ e uma base $\{u, v\}$ do plano tangente $T_p\mathcal{S}$ tal que $$\mathcal{W}(u) = \kappa_1u, \; \; \mathcal{W}(v) = \kappa_2v,$$ em outras palavras, o mapa de Weingarten possui autovalores e autovetores. As curvaturas principais de $\mathcal{S}$ são os autovalores do mapa, e $u, v$ são os vetores principais correspondentes.

Pontos umbílicos (ou umbilicais): Pontos em que $\kappa_1 = \kappa_2$. Em particular, $p$ é umbílico se, e somente se, o mapa de Weinngarten é um mapa identidade multiplicado por um escalar. N

Proposição: As curvaturas principais em um ponto da superfície são os valores máximo e mínimo da curvatura normal de todas as curvas da superfície que passam pelo ponto.

A demonstração dessa proposição utiliza o Teorema de Euler que afirma que $$\kappa_n = \kappa_1 \cos^2(\theta) + \kappa_2 \sin^2(\theta),$$ onde $\theta$ é o ângulo orientado $\hat{u\dot{\gamma}}$.

Proposição: Seja $\mathcal{S}$ uma superfície conectada em que todo ponto é umbílico. Então $\mathcal{S}$ é um conjunto aberto da esfera ou do plano.