Equações Semilineares de Segunda Ordem

Esse é uma breve introdução ao tópico para indicar o estudo. Para mais detalhes, o livro da professora Valéria Iório é sugerido. Temos que uma EDP semilinear de segunda ordem com duas variáveis é da forma $$a(x,y) u_{xx} + 2b(x,y)u_{xy} + c(x,y)u_{yy} = f(x,y,u,u_x,u_y),$$ cuja parte principal é o lado esquerdo da equação. Suponha que as funções $a,b,c$ sejam contínuas e defina a função discriminante: $$\delta(x,y) = b^2(x,y) - a(x,y)c(x,y).$$

O ponto $(x,y) \in \Omega$ é dito

1. Parabólico se $\delta(x,y) = 0$
2. Hiperbólica se $\delta(x,y) > 0$
3. Elíptica se $\delta(x,y) < 0$

Se a condição (1), (2) ou (3) vale para todo o ponto em $\Omega$, então a EDP é dita parabólica, hiperbólica ou elíptica, respectivamente.

Propriedade importante: O tipo da EDP é invariante sob mudanças de variáveis se o Jacobiano da transformação for não nulo em uma vizinhança de cada ponto.

Curvas características

Para EDPs de segunda ordem, as curvas características são curvas planas ao longo das quais a EDP pode ser escrita em uma forma que contenha as derivadas de $u_x$ e $u_y$. Suponha que $a$ não se anula na região de interesse. Caso se anule, considere $c$ ou $b$, pois uma delas não se anula na região de interesse, se não a EDP seria de primeira ordem. Reescreva o problema como

$$\begin{cases} p = u_x \\ q = u_y \\ a(x,y)p_x + 2b(x,y)p_y + c(x,y)q_y = f(x,y,u,p,q). \end{cases}$$

Quando $u$ é de classe $C^2$ como é nosso caso, $p_y = q_x$. Assim, para qualquer função $\lambda(x,y) \neq 0$ temos que $$ap_x + 2bp_y + \lambda p_y - \lambda q_x + cq_y = 0.$$ Defina $P(x) = p(x,y(x))$ e $Q(x) = q(x,y(x))$ e teremos (sim, regra da cadeia de novo) que $$a\frac{dP}{dx} - \lambda\frac{dQ}{dx} = 0,$$ em que $$\frac{dy}{dx} = \frac{2b + \lambda}{a} = -\frac{c}{\lambda}.$$ Assim, a função $\lambda$ deve satisfazer $$\lambda^2 + 2b\lambda + ac = 0$$

Agora se $-c/\lambda = \mu$, então $$\left(\frac{c}{\mu}\right)^2 - 2\frac{bc}{\mu} + ac =0 \overset{\times \mu^2/c}{\implies} a\mu^2 - 2b\mu + c = 0,$$ isto é, se $dy/dx = \mu(x,y)$, então $a\mu^2 - 2b\mu + c = 0$. Portanto, o sinal do discriminante $\delta = b^2 - ac$ introduzido acima determina se existem uma, duas, ou nenhuma solução $\mu$.

• No caso parabólico, existe uma família de funções que satisfaz essa equação para $\mu$.
• No caso hiperbólico, duas famílias satisfazem.
• No caso elíptico, não existem soluções para $\mu$.

As curvas definidas por $$\frac{dy}{dx} = \mu(x,y)$$ são as curvas características da EDP.

Exemplo: Vamos encontrar as curvas características da equação da onda (que é hiperbólica) $$u_{tt} = c^2u_{xx}.$$

Nesse caso $a, b, c$ são constantes com $a = 1, b = 0$ e $c = -c^2$. Assim, $$\mu^2 -c^2 = 0 \implies \mu = \pm c.$$ Obtemos que $$\frac{dx}{dt} = \pm c \implies x = \pm ct + x_0.$$ Logo as curvas são as famílias de retas $x + ct = k_1$ e $x - ct = k_2$, para $k_1, k_2$ constantes.

A ideia para resolver esses problemas é, portanto, fazer a mudança de variáveis $$\begin{cases} \xi = x + ct \\ \eta = x - ct. \end{cases}$$ e introduzir a função $v(\xi,\eta) = u(x(\xi,\eta),t(\xi,\eta))$. Outra forma de resolver a equação da onda é introduzida aqui.