Equação da Onda

Estamos interessados em entender o comportamento da EDP

$$u_{tt} - c^2u_{xx} = 0,$$

sujeita a condições iniciais e de fronteira.

Interpretação física

Em uma dimensão (mais outra temporal), a equação da onda é um modelo simpleficado de uma corda vibrando e $u(x,t)$ representa o deslocamento de um ponto $x$ no tempo $t \ge 0$. Suponha que a massa da corda seja $\rho = \rho(x)$ e a elasticidade seja $k = k(x)$. Considere o pedaço da corda $[x, x + \Delta x]$. Então, a massa desse pedaço será $\rho(x) \Delta x$, sua velocidade é dada por $u_t(x,t)$ (a derivada do deslocamento com respeito ao tempo) e a sua energia cinética é $\Delta K = \rho (u_t)^2 \Delta x / 2$ (lembre que energia cinética é proporcional à massa e ao quadrado da velocidade).

Portanto, a enegia cinética total será $$K(t) = \frac{1}{2} \int_0^L \rho(x) (u_t(x,t))^2 \, dx.$$ Pela Lei de Hooke, a energia potencial da corda é $(k/2)y^2$ em que $y$ é o aumento da corda dado pelo comprimento de $u(x,t)$ na variável $x$. Esse comprimento pode ser medido usando $$\sqrt{1 + u_x^2}$$ e, portanto, a energia potencial é $$P(t) = \frac{1}{2}\int_0^L k(x)(1 + (u_x(x,t))^2) \, dx.$$ A ação da função $u$ é, portanto, $$I(u) = \int_0^T K(t) - P(t) \, dt = \frac{1}{2} \int_0^T\int_0^L \rho(u_t)^2 - k(1 + u_x^2) \, dx \, dt.$$

Se $u$ minimiza essa ação, pelo Teorema de Euler-Lagrange, derivando com respeito a $u_t$ e $u_x$, $$-2\rho u_{tt} - 2(k_xu_x + ku_{xx}) = 0,$$ que implica $\rho u_{tt} = -ku_{xx} - k_xu_x$, isto é, se a elasticidade for constante na corda, temos a equação da onda.

Note que a nossa construção supõe a velocidade inicial conhecida. Portanto, além da condição de fronteira usal, precisamos de uma condição adicional (o que era de se esperar, pois nas EDOs, esse comportamento também acontecia).

Fórmula d'Alembert

Considere o problema $$\begin{cases} u_{tt} - u_{xx} = 0, \\ u(x,0) = g(x), u_t(x,0) = h(x), \end{cases}$$ em que $g$ e $h$ são dadas. Note que $$u_{tt} - u_{xx} = u_{tt} + u_{tx} - u_{xt} - u_{xx} = \left(\frac{\partial}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x}\right)(u_t - u_x) = \left(\frac{\partial}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x}\right)\left(\frac{\partial}{\partial t} - \frac{\partial}{\partial x}\right)u.$$ Apesar de ser uma notação de funcional que pode ser complicada, ela é muito útil para definir $$v(x,t) = \left(\frac{\partial}{\partial t} - \frac{\partial}{\partial x}\right)u,$$ e, então, $$v_t + v_x = 0, (x \in \mathbb{R}, t > 0),$$ que é a equação do transporte. Sabemos que a solução para esse problema é $$v(x,t) = a(x - t),$$ em que $a(x) := v(x,0)$, e, portanto $$u_t(x,t) - u_x(x,t) = a(x,t),$$ que também o problema do transporte não homogêneo. Esse problema tem solução conhecida: $$u(x,t) = \int_0^t a(x + (t-s) - s) \, ds + b(x+t) = \frac{1}{2}\int_{x-t}^{x+t} a(y) \, dy + b(x,t).$$ Além disso, em $t=0$, temos que $b(x,0) = g(x)$ e $a(x) = h(x) - g'(x)$. Portanto, $$u(x,t) = \frac{1}{2} \int_{x-t}^{x+t} h(y) - g'(y) \,dy + g(x+t),$$ que implica $$u(x,t) = \frac{1}{2}[g(x+t) + g(x-t)] + \frac{1}{2}\int_{x-t}^{x+t} h(y) \, dy.$$

Esta é a fórmula de d'Alembert. Note que na solução, assumimos que $u$ é suficientemente suave (classe $C^2$). Essa condição é verificada se $g \in C^2(\mathbb{R})$ e $h \in C^1(\mathbb{R})$.

Dizemos, então, que a solução $u$ tem a forma $$u(x,t) = F(x+t) + G(x-t)$$

Observação: Esse desenvolvimento assume que a corda é infinita.

Extensões

Esse é um tópico muito rico que pode ter muitas variações. Aqui apresentarei duas extensões que podem ser mais estudadas nas referêncais do curso.

Médias esféricas e fórmulas de Poisson e Kirchhoff

Para dimensões espaciais $n \ge 2$, a solução é um pouco mais complexa. Para isso, é preciso resolver a equação de Euler-Poisson-Darboux e reduzir o problema ao formato que se possa aplicar a fórmula de d'Alembert. Para o detalhamento desse processo, o livro do professor Lawrence Evans é bastante indicado.

Corda finita

Nesse caso, temos restrições de contorno quando $x=0$ e $x=l$ (comprimento da corda):

$$\begin{cases} u_{tt} = c^2u_{xx} \\ u(0,t) = u(l,t) = 0, \forall t \ge 0, \\ u(x,0) = f(x), x \in [0,l] \\ u_t(x,0) = g(x), x \in [0,l]. \end{cases}$$

Podemos provar o seguinte teorema:

Teorema: Seja $f \in C^2[0,l]$ e $g \in C^1[0,l]$ tais que $f, f''$ e $g$ se anulam em $x=0$ e $x=l$, então $$u(x,t) = \frac{F(x+ct) + F(x-ct)}{2} + \frac{1}{2c} \int_{x-ct}^{x+ct} G(s) \, ds,$$ em que $F$ e $G$ são extensões periódicas (período $2l$) e ímpares das funções $f$ e $g$, respecticamente, é a única solução do problema de corda infinita.

O que é extensão periódica e ímpar?

Dizemos que uma função $f: A \to B$ tem período $T$ se para todo $x \in A$, temos que $x+ T \in A$ e $f(x) = f(x+ T)$. A função será ímpar se $f(x) = -f(-x)$ para $x \le -l$ Assim, definimos a extensão periódica ímpar de $f$ como $$F(x) = \begin{cases} -f(-x + 2kl ) &x \in [(2k-1)l, 2kl] \\ f(x - 2kl) &x \in [2kl, (2k+1)l],\\ \end{cases}$$ que é definida em intervalor fechados.

Métodos de energia

Esses métodos nos ajudam a estudar a unicidade da solução $u$ do problema. Considere novamente o problema $$\begin{cases} u_{tt} - u_{xx} = 0, \\ u(x,0) = g(x), u_t(x,0) = h(x), \end{cases}$$ Suponha que $u$ e $v$ sejam soluções para esse problema. Então $w = u - v$ é uma solução para $$\begin{cases} u_{tt} - u_{xx} = 0, \\ u(x,0) =0, u_t(x,0) = 0. \end{cases}$$ Defina a energia $$E(t) := \frac{1}{2}\int_U w_t^2(x,t) + w_x(x,t)^2 \, dx, 0 \le t \le T.$$ Derivando com respeito a $t$ e supondo $U$ limitado com fronteira suave, temos que (Fórmula de Leibniz) $$\dot{E}(t) = \int_U w_tw_{tt} + w_xw_{tx} \, dx = \int_U w_t(w_{tt} - w_{xx}) = 0,$$ em que a segunda igualdade vem de uma integração por partes combinada com o fato de na fronteira $w = 0$. Portanto $E(t) = E(0)$ para todo $T \ge t \ge 0$, que implica $E(t) = 0$. Em paricular, $$w_t(x,t) = w_x(x,t) = 0, \forall x, t$$ e, portanto $w \equiv 0$.

Sugestões

• CFL (1928)
• Discretização da equação da onda