Teorema de Hahn Banach

Queremos generalizar um pouco mais a ideia de norma para um funcional convexo. Será fácil verificar que toda norma é um funcional convexo e, portanto, resultados para esses funcionais serão válidos para normas em geral.

Um funcional linear é um mapa $f : X \to \mathbb{R}$ que é uma transformação linear. Um funcional convexo é um mapa $$p : X \to \mathbb{R}$$ que satisfaz

(I) $p(x) \ge 0$ para todo $x \in X$;

(II) $p(x+y) \le p(x) + p(y)$ para todo $x,y\in X$;

(II) $p(\alpha x) = \alpha p(x)$ para todo $x \in X$, $\alpha \ge 0$. Se o item (I) não é satisfeito, chamamos $p$ de funcional sublinear.

Lema: Seja $M$ subespaço próprio de $X$ e $x_0 \in M^c$. Defina $N = [M \cup \{x_0\}]$, isto é, o menor subespaço que contém $M \cup \{x_0\}$. Suponha que $f$ é um funcional linear em $M$, $p$ é um funcional sublinear em $X$ e $f(x) \le p(x)$ para todo $x \in M$. Assim, existe um funcional linear $F$ em $N$ que estende $f$ e satisfaz $F(x) \le p(x)$ para todo $x \in N$.

Em resumo, ao incluir uma dimensão em nosso subespaço, conseguimos estender um funcional linear que ainda é limitado por um sublinear.

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Ideia da prova:

1. Note que para $y_1, y_2 \in M$, tem-se que $$-p(-y_2 -x_0) - f(y_2) \le p(y_1+x_0) - f(y_1),$$ o que implica que existe $c_0$ entre o supremo do lado esquerdo em $y_2$ e o ínfimo do lado direito em $y_1$.

2. Qualquer elemento de $N$ é unicamente escrito como $$x = y + \alpha x_0.$$ Assim, podemos definir $$F(y + \alpha x_0) = f(y) + \alpha c_0.$$

3. É claro que $F$ é linear e que $F$ estende $f$. Falta verificar se $\alpha \neq 0$, então $F(x) \le p(x)$. Isso é verificável usando a desigualdade em (1).

A partir desse lema, podemos obter o seguinte famoso resultado.

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Teorema (Hahn-Banach): Seja $M$ um subespaço de $X$, $p$ um sublinear e $f$ um funcional linear definido em $M$, tal que $f(x) \le p(x)$ para todo $x \in M$. Assim, existe um funcional linear $F$ que estende $f$ em $X$ e satisfaz $$F(x) \le p(x)$$ para todo $x \in X$.

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Ideia da prova:

1. Defina $S$ a classe de todos os funcionais lineares que estendem $x$ e que satisfazem $f(x) \le p(x)$ para $x$ no seu domínio $D_f$.
2. É claro que $S$ não é vazio, já que $f \in S$ para $D_f = M$.
3. Defina a seguinte ordem: $f_1 < f_2 \in S$ se $f_2$ estende $f_1$, que induz uma ordenação parcial em $S$.
4. Precisamos provar que $S$ é indutivamente ordenado, isto é, todo subconjunto de $S$ totalmente ordenado tem um limite superior. A partir de um conjunto totalmente ordenado $\{f_{\alpha}\}$, basta considerarmos uma função cujo domínio seja $\cup_{\alpha} D_{f_{\alpha}}$. Nesse caso, define-se que $f(x) = f_{\alpha}(x)$ quando $x \in D_{f_{\alpha}}$. Precisamos verificar que essa união é um subespaço e que $f$ é bem definida, mas isso é consequência do conjunto ser totalmente ordenado.
5. O Lema de Zorn implica a existência de um elemento maximal $F$ de $S$.
6. Falta provar que $D_F = X$, mas isso é resultado do lema anterior, pois caso não fosse, poderíamos estender esse funcional, caindo em contradição.

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Funcionais lineares limitados

Em espaços normados, o conceito de continuidade para funcionais lineares é mais simples. Se $f$ é um funcional linear contínuo em $x \in X$, então $f$ será contínuo em todo ponto do espaço. Mais do que isso, continuidade e limitação de $f$ são equivalentes em espaços normados.

Um funcional linear $f$ em um espaço normado é limitado se existe uma constante $k$ tal que $f(x) \le k\|x\|$ para todo $x \in X$.

Teorema: Seja $X$ um espaço normado e $f$ um funcional linear. Então $f$ é contínuo se, e só se, $f$ é limitado.

Espaço conjugado

Em um espaço normado, se $f$ é um funcional linear limitado, defina $$\|f\| = \sup_{x \neq 0} \frac{|f(x)|}{\|x\|} = \sup_{\|x\|=1} |f(x)|.$$ O espaço de todos os funcionais limitados sobre $X$ com essa norma é chamado de espaço conjugado $\tilde{X}$. Podemos demonstrar que $\tilde{X}$ é espaço de Banach.

Teorema: Se $X$ tem dimensão finita, todos os funcionais lineares são limitados (logo, contínuos), isto é, $\tilde{X}$ contém todos os funcionais lineares.

Consequências do teorema de Hahn-Banach

Nessa seção, veremos algumas aplicações do Teorema de Hahn-Banach. Uma parte importante foca em aplicações limitadas. Por exemplo, dado um vetor $x \in X$, existe um funcional linear limitado que assume o valor $\|x\|$ quando aplicado a $x$.

Teorema: Seja $f$ um funcional linear limitado definido no subespaço $M \subseteq X$. Então existe um funcional linear limitado $F$ definido em $X$ que estende $f$ e $\|F\| = \|f\|$.

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Ideias da prova:

• Defina $p(x) = \|f\|\|x\|$ para todo $x \in X$. Se provarmos que $p$ é funcional convexo simétrico, o resultado segue do Teorema de Hahn-Banach (para a versão complexa), com a propriedade que $|F(x)| \le \|f\|\|x\|$.

• Observar que $|f(x)| = |F(x)| \le \|F\|\|x\|$ e, portanto, teremos $\|f\| = \|F\|$.

• A convexidade de $f$ vem da convexidade da norma.

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Outro resultado de interesse é o seguinte:

Teorema: Seja $x_0 \in X$ não nulo. Então existe funcional linear $F$ com $\|F\| = 1$ e $F(x_0) = \|x_0\|$.

Com esse resultado, se $X$ possui um elemento não nulo, então o espaço conjugado (funcionais lineares limitados) também não será trivial. Além disso, se todos os funcionais lineares limitados $f$ definidos em $X$ satisfazem $f(x) = 0$, então $x = 0$, visto que, se $x \neq 0$, existe um funcional tal que $f(x) = \|x\| \neq 0$.

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Ideia da prova:

• Defina $M = [\{x_0\}]$ e defina $f : M \to \mathbb{R}$ de forma que $f(\alpha x_0) = \alpha \|x_0\|$. Com isso, $|f(x)| = \|x\|$ para todo $x \in M$ (e a norma é um funcional convexo).

• Além disso, $\|f\| \ge 1$. Se fosse maior, teríamos uma contradição com a igualdade do item anterior. Portanto, $\|f\| = 1$.

• Pelo Teorema anterior, existe um funcional linear limitado que extende $f$ em todo espaço de mesma norma.

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Na mesma onda, outro teorema é resultate:

Teorema: Seja $M$ subespaço de $X$ e $x_1 \in X$ tenha a propriedade que $d(x_1, M) = d > 0$. Então existe um funcional linear limitado $F$ com $\|F\| = 1$, $F(x_1) = d$ e, para todo $x \in M$, $F(x) = 0$.