Método Delta

O método Delta é uma importante forma de encontrar a distribuição assintótica de estatísticas de interesse. Em termos gerais, se uma estatística converge para uma distribuição normal, então uma função diferenciável também convergirá, com média e variâncias definidas através dessa função. Por exemplo, sabemos que $$\sqrt{n}\left(\bar{X}_n - \mu\right) \to N(0, \sigma^2),$$ pelo Teorema Central do Limite, em que $\mu = \mathbb{E}[X_1]$, $\sigma^2 = \operatorname{Var}(X_1)$, $X_1, \dots, X_n$ é uma amostra aleatória e $\bar{X}_n$ é a média amostral. O método delta diz que, para uma função $g$ diferenciável, $$\sqrt{n}\left(g(\bar{X}_n) - g(\mu)\right) \to N(0, g'(\mu)^2 \sigma^2),$$ desde que $g'(\mu) \neq 0$.

O fato interessante é que o método funciona não só com funções da média, mas qualquer função de uma sequência de estatísticas com a propriedade que $$\sqrt{n}(Y_n - \mu) \Rightarrow N(0, \sigma^2).$$ O método também se extende para variáveis aleatórias multidimensionais, em que $g'(\mu)\sigma^2$ é substituído por $\nabla g(\mu)^T \Sigma \nabla g(\mu)$.