Testes Uniformemente mais Poderosos

Estamos lidando com um teste de hipóteses com as variáveis aleatórias $X_1, ..., X_n$ de uma distribuição parametrizada em $\theta$ desconhecido. $$H_0: \theta \in \Omega_0$$ $$H_1: \theta \in \Omega_1$$ Assumiremos que $\Omega_1$ não é conjunto unitário. Também suponha que o nível de significância do teste seja $\alpha$, isto é $\pi(\theta|\delta) \le \alpha, \forall \theta \in \Omega_0$. Segundo essas condições, queremos encontrar o procedimento de teste $\delta$ que tem a menor probabilidade de erro do tipo II.

Definição: Uma família de densidades $p_{\theta}(x)$ tem razões de verossimilhanças monótonas se existe uma estatística $T$ tal que se $\theta_1 < \theta_2$, a razão de verossimilhança $p_{\theta_2}(x)/p_{\theta_1}(x)$ é função não decrescente de $T$.

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📝 Família exponencial

Considere a família exponencial $$p_{\theta}(x) = h(x) \exp\{\pi(\theta) T(x) - A(\theta)\}.$$ Assim, $$\log \frac{p_{\theta_2}(x)}{p_{\theta_1}(x)} = T(x) (\pi(\theta_2) - \pi(\theta_1)) - (A(\theta_2) - A(\theta_1)).$$ Se $\pi$ é uma função crescente, teremos que essa família astisfaz a propriedade de monotonicidade das razões de verossimilhança, visto que essa razão não descresce monotonicamente com $T(x)$.

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Teorema: Suponha que a família de densidades tenha razões de verossimilhança monótonas. Então o teste $$\delta^*(x) = \begin{cases} 1, &T(x) > c, \\ \gamma, &T(x) = c, \\ 0, &T(x) < c. \end{cases}$$ é uniformemente mais poderoso ao testar $H_0 : \theta \le \theta_0$ contra $H_1 : \theta > \theta_0$. As constantes $\gamma$ e $c$ são definidas a fim do teste ter nível $\alpha$.

Dualidade entre Teste de Hipóteses e Intervalo de Confiança

Temos que se $$\Pr_{\theta}(g(\theta) \in S(X)) \ge 1-\alpha, \forall \theta \in \Omega,$$ então $S(X)$ é dito região de confiança com nível $1-\alpha$ para $g(\theta)$.

Por outro lado, para cada parâmetro $\theta_0$, temos uma região de aceitação $A(\theta_0)$ com nível $\alpha$ para o teste $H_0 : g(\theta) = g(\theta_0)$ tal que $$\Pr_{\theta}(X \in A(\theta)) \ge 1 - \alpha, \forall \theta \in \Omega.$$ Defina $S(x) = \{g(\theta) : x \in A(\theta)\}$. Por definição, $S(X)$ é uma região de confiança para $g(\theta)$ com nível $1-\alpha$.

Além do mais, dado uma região de confiança $S(X)$, podemos definir um teste $$\delta(x) = \begin{cases} 1, &g(\theta_0) \not \in S(x) \\ 0, &\text{c.c.} \end{cases}$$

que tem nível no máximo $\alpha$.