Funções de risco

Podemos ver a inferência estatística como a arte de aprender sobre uma quantidade desconhecida $\theta$ a partir de dados $X$, através de uma conexão definida a partir de um modelo probabilístico $X \sim P_{\theta}$. Para estudar a performance de estimadores de $g(\theta)$, conceito introduzido em Estimação pontual, uma abordagem formalizada é a Teoria da Decisão. Aqui introduziremos esses conceitos, mas uma visão mais geral sob a ótica de Inferência Bayesiana pode ser encontra aqui.

Seja $\mathcal{D}$ o espaço das decisões (por exemplo, uma estimativa é uma decisão) e $\Omega$ o espaço dos parâmetros. Uma função de perda é uma função $L : \Omega \times \mathcal{D} \to [0, +\infty]$ e avalia uma penalidade $L(\theta, d)$ em tomar a decisão $d$ com respeito a $\theta$. Quando $\mathcal{D} = h(\Omega)$, temos que $L(\theta, d)$ mede o erro em obter $h(\theta)$ por $d$.

Sendo $\phi(X)$ um estimador para $\theta$ (uma estatística que busca aproximá-lo), $L(\theta, \phi(X))$ é uma variável aleatória que pode ser grande, mesmo que $\delta$ seja um bom estimador. Com isso, definimos a função de risco $R$ como a perda média em usar $\phi(X)$ para estimar $\theta$ $$R(\theta, \phi) = \mathbb{E}_{\theta}[L(\theta, \phi(X))],$$ isto é, tomando a esperança quando $X \sim P_{\theta}$.

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📝 Exemplo (caso binomial)

Seja $X \sim Binomial(n, p)$ com $n$ conhecido. Um estimador para $p$ é $\phi(X) = X/n$. Seja $L(\theta, d) = (\theta - d)^2$ a perda quadrática. Assim, a função de risco para $\phi$ é $$R(p, \phi) = \mathbb{E}_{p}[(p - X/n)^2] = Var_p(X/n) = \frac{np(1-p)}{n^2} = \frac{p(1-p)}{n}, p \in [0,1].$$

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A função de risco tem um problema clássico: é difícil comparar dois estimadores quaisquer, pois um pode ter risco menor em certas regiões e maior em outras.

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📝 Exemplos de riscos

Para cada perda $L$, definimos um risco $R$. A seguir, temos alguns mais famosos.

• Perda quadrática ($L(\theta, d) = (\theta - d)^2$): mean squared error (erro médio quadrado) ou MSE.

• Perda absoluta ($L(\theta, d) = |\theta - d|$): mean absolute error (erro médio absoluto) ou MAE.

• Perda absoluta percentual ($L(\theta, d) = |\theta - d|/|\theta|$): mean absolute percentage error (erro médio absoluto percentual) ou MAPE.

• etc.

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