Isometrias e Homeomorfismos

Um conceito importante sobre espaços métricos é a ideia de isometria, isto é, funções que mantém propriedades relacionadas à métrica do espaço (iso = igual, metria = métrica).

Sejam $(X,d)$ e $(Y,d')$ dois espaços métricos e $f:X \to Y$ uma função bijetiva. Dizemos que $f$ é um homeomorfismo se $f$ e $f^{-1}$ são contínuas. Além do mais, se existe um homeomorfismo entre $X$ e $Y$, dizemos que $X$ e $Y$ são homeomorfos.

Um homeomorfismo preserva conjuntos abertos e fechados, além de outras propriedades, como o conceito de ponto limite, isto é, se $x \in A'$, então $f(x) \in f(A)'$.

Se $f:X \to Y$ é bijetiva e para quaisquer $x,y \in X$, vale que $$d(x,y) = d'(f(x), f(y)),$$ então $f$ é dita isometria. Se existe uma isometria entre $X$ e $Y$, eles são ditos isométricos.

Toda isometria é um homeomorfismo, pois se $d(x_n, x) \to 0$, então $d'(f(x_n), f(x)) \to 0$. Em contrapartida, se $d'(f(x_n), f(x)) \to 0$, é claro que $d(f^{-1}(f(x_n)), f^{-1}(f(x))) = d(x_n, x) \to 0$.

Sequência de Cauchy

Considere a sequência $\{x_n\}$ no espaço métrico $(X,d)$. Ela é dita de Cauchy se para todo $\epsilon > 0$, existe $N \in \mathbb{N}$ tal que para todo $n, m> N$, vale que $d(x_n, x_m) < \epsilon$. Intuitivamente, a distância entre um elemento da sequência $x_m$ e seus subsequentes vai assintoticamente diminuindo. Observe que isso não garante convergência de forma geral, mas toda sequência convergente é de Cauchy, visto que $$d(x_n, x_m) < d(x_n, x) + d(x, x_m),$$ quando $x$ é o limite dessa sequência.

Dizemos que um espaço é completo se toda sequência de Cauchy é convergente.

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📝 Completude dos números reais

O espaço $X=\mathbb{R}^n$ com a métrica $d_2(x,y) = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i-y_i)^2}$ é completo. Em particular, os reais formam um espaço completo com a distância dada pelo valor absoluto da diferença.

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📝 Métrica trivial

Qualquer conjunto dotado da métrica trivial forma um espaço completo, pois a sequência só será de Cauchy se existir $N \in \mathbb{N}$ tal que $n > N \implies x_n = x_N$.

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📝 Os números racionais

Considere $X= \mathbb{Q}$ e $d(x,y) = |x-y|$. É fácil ver que $(\mathbb{Q}, d)$ formam um espaço métrico não completo. Para isso, considere a sequência $$x_{n+1} = \frac{x_n}{2} + \frac{1}{x_n}, x_1 = 2,$$ que está definida em $X$, pois soma e divisão são operações fechadas nos racionais. Note que $$\frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{x_n^2} \le 1 \iff x_n^2 \ge 2.$$ Note que $$0 \le (x_{n+1} - x_n)^2 = x_{n+1}^2 + x_n^2 - 2x_{n+1}x_n = x_{n+1}^2 + x_n^2 - x_{n}^2 -2 = x_{n+1}^2 - 2,$$ o que implica que $x_n^2 \ge 1$ para todo $n$ e, $x_{n+1} \le x_n$ pela desigualdade inicial. Com isso, temos uma sequência decrescente limitada e, portanto, convergente em $\mathbb{R}$ e, portanto de Cauchy em $\mathbb{R}$ e, por consequência, de Cauchy em $X$. Seja $L$ o limite. Assim, $$L = L/2 + 1/L \implies 2L^2 = L^2 +2 \implies L = \sqrt{2}.$$ Como $L \not \in X$, então a sequência não converge em $X$ e $X$ não é completo.

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Proposição: Duas sequências são assintóticas quando $d(x_n, y_n) \to 0$. Isso cria uma relação de equivalência no espaço das sequências. Além do mais, se $\{x_n\}$ é Cauchy /converge para $x$, $\{y_n\}$ também será / converge.

Completamento

Seja $(X,d)$ um espaço métrico. O espaço métrico completo $(X^*, d^*)$ é um completamento de $(X,d)$ se $(X,d)$ é isométrico a um subespaço $(X_0, d^*)$ denso em $(X^*, d^*)$, isto é, que satisfaz, $\bar{X}_0 = X^*$. Nesse caso, todo ponto de $X^*$ é ponto de aderência de $X_0$, que é equivalente a $X$ no sentido de preservar a métrica.

Teorema: Todo espaço métrico $(X,d)$ tem um completamento $(X^*, d^*)$ e, além do mais, se $(X^{**}, d^{**})$ é um completamento de $(X,d)$, então $(X^*, d^*)$ é isométrico a $(X^{**}, d^{**})$.

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📝 Os números racionais (continuação)

Vimos que $\{\mathbb{Q}, d\}$ é um espaço métrico não completo para $d(x,y) = |x,y|$. Pelo Teorema acima, existe um espaço métrico $(\mathbb{Q}^*, d^*\}$ completo de forma que $\mathbb{Q}$ é isométrico a um subconjunto denso de $\mathbb{Q}^*$. Além disso, sabemos que ele é único a menos de uma isometria. Essa é uma forma de construir os números reais: o completamento dos números racionais. Para isso, basta definir um número real como a classe de equivalência das sequências de Cauchy nos racionais com a relação de duas sequências estarem na mesma classe se são assintóticas.

Mais detalhes dessa construção, consulte o Exercício 31 da lista.

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Proposição: Seja $A \subseteq X$ em que $(X,d)$ seja um espaço métrico completo. Então $(A,d)$ é um espaço métrico com $(\bar{A}, d)$ sendo seu completamento.

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📝 Homeomorfismo, não isometria!

Note que $\mathbb{R}$ é homeomorfo a $(0,1)$ através ta transformação $f(x) = \frac{1}{\pi}tan^{-1}(x) + 1/2$. Todavia, um é completo, enquanto o outro não é.

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Teorema de Baire

Seja $(X,d)$ um espaço métrico. Um subconjunto $S \subseteq X$ é dito denso em lugar algum se $S$ não é denso em nenhum subconjunto aberto não vazio $U \subseteq X$.

Teorema: Um espaço métrico completo não pode ser coberto por um número enumerável de conjuntos densos em lugar algum.

Espaços Separáveis

Temos os seguintes tipos de espaços métricos, cada um "maior" do que o anterior.

• Espaço métrico finito: existe um número finito de distância para calcular entre os pontos do espaço.
• Espaço métrico enumerável: com um número infinito de pontos, um algoritmo pode calcular distâncias precisamente, mas isso pode tomar tempo.
• Espaço métrico separável: pontos podem ser aproximados por um de um número contável de pontos. Qualquer distância pode ser calculada de forma aproximada.
• Espaço métrico não separável: Pode não existir algoritmo para calcular distância entre pontos genéricos.

Um espaço métrico $(X,d)$ é separável quando ele contém um subconjunto denso enumerável.

Espaços métricos enumeráveis são separáveis por definição. Temos que $\mathbb{R}$ é separável, pois $\mathbb{Q}$ é denso em $\mathbb{R}$.

Proposição: O produto de dois espaços separáveis é separável.